更新时间：作者：小小条
初中和高中阶段我们都学*了函数，在两个不同的阶段，学*的函数概念是不一样的。
在冀教版八年级下册20.2节中，对函数的概念是这样进行定义的：
在高中数学人教版必修 1 中是这样定义函数的：
通过比较，实际上我们可以说初中函数的概念是高中函数概念的阉割版，它并不是严谨的函数概念。
所以才会有在高中教学时，向学生提出的那个经典问题：
y=x^2 +1和g=t^2 +1是不是同一个函数？
按照人的本性，肯定是选我就选最好的，既然初中的函数概念是不完善的，那我们为什么还要学*呢？
要解答这个问题，我们先要明确，函数的概念的学*是学生在初高中所必须要学*的，因为这是数学的最基本的内容，应用十分广泛，很多时候都已经成为一个常识了，比如说 Excel 中的函数，如果学生不学*函数的概念，肯定看不懂，这些都是学生的必备技能。如果现在不学，高中也得学*，高中不学*，还能等到大学再学吗，大学还有不学*数学的专业的呢。基本的数学素养还是要有的。
既然要学*，并且这个概念十分的重要，那关键就是怎么学好的问题，建立在集合论上的函数概念是比较抽象的，从这个角度来看，初中阶段对函数概念的学*十分必要，它为高中阶段的函数定义打下了基础，初中阶段的这种函数定义，是从一种动态观的角度上去刻画的，学生在理解这个概念的时候就可以类别是真的选定了一个数 x 然后进行计算得到 y ，这为学生后续的学*降低了难度，并且也能够让学生初步尝试着将方程、不等式和函数联系在一起。
说清楚了初中我们要学*函数，那下面还要再讨论一个问题，就是：
为什么要学*的初中函数的概念是这种描述呢？
这种函数概念就算是不严谨的，那明明也可以有别的描述方式，比如说，可以这样描述：“一般地，在某个变化过程中，有两个变量 x 和 y，如果给定 x 的一个值，存在一个对应关系 f，在这个对应关系下的计算就能够相应地确定 y 的一个值，那么，我们就说 y 是 x 的函数(function)”
PS：与教材上的相比是加上了一个关系 f，这样定义也有其合理性，因为初中课本提到了函数关系这一个概念：
我的水平肯定比不上教材，教材是最权威的教学内容，那这种描述肯定有它的依据。我想知道的是它的依据是什么。毕竟，最好的和最坏的都是容易确定的，就是中间的这种不容易确定，初中阶段的函数概念就是这种，既没有多一点东西，也没有少一点东西；既不是漏洞百出的函数定义，也说不上严谨；既可以和已有的初中知识体系契合，解释部分的现象和数学知识，但与高中函数概念相比也有很多的不足。
要明白为什么是这种描述，这还要从数学史的角度谈起，函数概念的发展经历了一个漫长的过程，从笛卡尔建立坐标系开始，函数概念的思想就已经产生了，而对函数这一名词正式命名的是数学家欧拉，欧拉在1748年出版的《无穷分析引论》中，欧拉将函数定义为：“一个变量的函数是由该变量和一些数或常量以任何一种方式构成的解析表达式“，看到这里我相信你已经发现，这个定义和初中阶段的函数定义是如此的相似！
原来初中阶段学*的函数的概念，就是历史上大数学家欧拉对函数概念的定义！
当然，欧拉也不是一拍脑门就想起函数的概念应该是这样定义，肯定是出于某种目的，建立在某个依据上的，不可能平白无故的就对函数这样进行定义，就像我不可能随意的判断一个人的好坏一样。
实际上，欧拉这样进行定义的原因是当时的数学研究发展所导致的，当时微积分处于快速发展时期，这一同也促进了关于函数概念的研究，而不同数学家关于函数概念的定义是不同的，为了研究的有效进行，这就需要对函数的概念进行更加清晰，加之当时的研究主要是集中在曲线上的。欧拉就对函数进行了上述的定义，这种定义也反应了函数理论建立的本质，就是刻画变量关系。
既然这个概念这么合适，那为什么又将其建立在集合论上了呢？一句话说明就是时代在发展。
第三次数学危机使得人们开始重视数学基本概念的研究，集合论的完善使得人们尝试将数学概念建立在集合上，用集合去解释数学概念，之前欧拉这种函数定义的概念本身就是有缺陷的，因此，人们通过尝试从集合的角度去建立函数，发现函数的概念更加严谨了，而且也并没有欧拉本身想要表达的意思。于是便沿用了下来。
越扯越远了，还是回到我们想要探究的问题就是，为什么初中要学*这种不严谨的函数定义？
总结起来就是人的认识规律使然，这不仅仅局限在知道函数的概念难以理解，就在提前在初中学*一下函数的概念，这一种认识上。而是说在初中阶段既然要学*函数的概念，那就要学*一个最优的函数概念。就算是这个函数概念不严谨，但在初中现有的知识体系下，它也要是最好的，也要是最合适的，要是最优解，既不多，也不少，而且还能够最大限度的促进学生后续进一步的学*和理解。
这个最优解让我们自己确定肯定是不容易确定的，那得经过多少的实践反思和实验。
但其实，这个最优解伟大的数学家欧拉已经给出了我们答案。
这就是数学史的魅力，数学的研究是在原有的基础上不断的完善，推陈出新的。数学史不仅仅是数学发展的历史，也是我们人类认识的规律，数学研究的过程一定是掺杂着人的意识的，是无数数学家呕心沥血的结果，以史为鉴，可以知兴替。这么多数学家为数学教学出谋划策，数学史中就藏着数学教学的最优解。
很多时候，如果你觉得一个概念不容易理解，那就去看看数学史吧，看看这个不容易理解的知识点，我们的数学家是如何处理的。毕竟，解铃还须系铃人。
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