更新时间：作者：小小条
圆锥曲线的许多大题都是围绕定点定值问题出的，在前面《由定值定点结论迅速确立主攻方向》（点击可跳转）一文中已经讲了一种定点定值的情况，我们在《由蒙日圆的构造引申到极点极线》（点击可跳转）一文中也详细介绍了极点极线的三种情况。
实际上，许多定点定值问题可以从极点极线的视角去看待，这样，就可以先从极点极线的概念先得出结论，再从结论去反推问题，比起直接通过常规方法，难度*降低，运算时间也*压缩。
举一个很常见的例子，是一个定值问题，有很多人讲过，通常是两种方法：一是常规的联立方程，利用韦达定理化简；二是利用三点共线方程+构造对偶式。这两种方法你可以试一下，在本文最后也给出这两种方法的详细步骤，但最开始，我将用极点极线思想去解它，你也来对比一下，同时也体会一下如何更好使用极点极线思想。
分析：按题意，画图所下。我们看MN，不管它怎么转动，它是过定点P的，x轴也是过P的，那么P点是不是曲线内的一点，有两条弦过它（一条弦是MN，另一条就是x轴），而这两条弦分别交曲线两个点（共四个点），所求的F点是不是这四个点两两相交形成的。那么这是《由蒙日圆的构造引申到极点极线》一文中提到的第三种情况。
很明显，点P就是极点，点F的轨迹必是极线，而且根据我们的极线方程的规律，其方程是通过极点改写曲线方程，如下。
所以，我们很快就能确定点F的轨迹是x=-1，即图中的虚线。但我们不能直接就这么答，因为这是二级结论。但我们可大胆假设，假设F的轨迹是x=-1，那么我们反过来推，如果在x=-1上任选一点，过这一点分别与双曲线的两个顶点相连，则这两条直线必与双曲线相交，在左支相交的两点是M、N，如果MN必过点P，是不是说明我们假设的F的轨迹是正确的呢？
答案是肯定的，因为我们是在x=-1上任选的一点，无论怎么选，得到的MN都过P点，反过来说，过P点的任意MN，按上述作法，交点都在x=-1上。而且这么反推肯定简单，因为大部分都是已知点，只有一个可变量，就是点F的纵坐标，比起韦达代换、非韦达代换动不动二个或四个变量，容易地多。
下面开始正式反推：
这个好办，P是公共点，只要MP与PN的斜率相同即可。
刚才用极点极线思想把这个定点定值问题快速解决了，如果我们要按常规方法怎么解决呢，下面也补充一下，供大家学*借鉴，并再次与上面的方法对比一下。
大家看完这两种作法，有什么感受。
方法一中规中矩，但运算量较大，如果在计算过程中出现一点错误，则很难再进行下去。方法二的技巧性太强，如果不是反复进行过这方面训练，很难自己凑出这个对偶式，而且过程繁多，即使做过，也很容易忘，因为它的步骤没有一个明确易懂的逻辑去指导，就像在玩一场数学变换游戏，非尖子生不建议去学，即使平时会用，在考试中高强度、时间紧的情况下，也很难完成。
而我们极点极线思想，一开始就是明牌了，是在明确思想指导下去验证，本身运算量就小，再加上结论是明确的，如果过程中发现达不到要的结论，则能肯定是中间某步计算有误，会有目的的去纠错，而不像后面二种方法，因为不敢肯定这条路一定会走通，所以不知道是不是中间过程是不是真的错了。
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