更新时间：作者：小小条
1. 第一题：诱导公式与化简求值
1.1 题目
已知 sin(π+ θ) = 3/5，且 θ 是第三象限角，求 [cos(2π - θ)] / [tan(π - θ)] 的值
1.2 解题方法
使用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角三角函数
1.3 解答过程
1.3.1 化简已知条件
sin(π+ θ) = -sinθ = 3/5
所以 sinθ= -3/5
1.3.2 确定 cosθ 的值
因为 θ 是第三象限角，所以 cosθ< 0
由 sin²θ+ cos²θ = 1 得：
cosθ= -√[1 - sin²θ] = -√[1 - (-3/5)²] = -√[1 - 9/25] = -√[16/25] = -4/5
1.3.3 化简所求表达式
cos(2π- θ) = cos(-θ) = cosθ
tan(π- θ) = -tanθ
所以，原式= cosθ / (-tanθ) = cosθ / [-(sinθ/cosθ)] = -cos²θ/sinθ
1.3.4 代入求值
将 sinθ= -3/5，cosθ = -4/5 代入：
原式= -[(-4/5)²] / (-3/5) = -(16/25) / (-3/5) = -(16/25) × (-5/3) = 16/15
1.4 最终答案
16/15
2. 第二题：恒等变换与求值
2.1 题目
已知 tanθ= 2，求 (sinθ + cosθ) / (sin³θ + 2cos³θ) 的值
2.2 解题方法
齐次式的变换技巧，将分子分母同时除以 cosθ 的幂次
2.3 解答过程
2.3.1 分析表达式
分子分母各项次数不一致，将分子分母同时除以 cos³θ
2.3.2 进行变换
原式= [(sinθ/cos³θ) + (cosθ/cos³θ)] / [(sin³θ/cos³θ) + 2(cos³θ/cos³θ)]
=[(1/cos²θ)·tanθ + (1/cos²θ)] / [tan³θ + 2]
2.3.3 处理 1/cos²θ
由 sin²θ+ cos²θ = 1，两边同时除以 cos²θ，得：
tan²θ+ 1 = 1/cos²θ
2.3.4 代入并计算
将 tanθ= 2 和 1/cos²θ = tan²θ + 1 = 2² + 1 = 5 代入：
原式= [5 × 2 + 5] / [2³ + 2] = [10 + 5] / [8 + 2] = 15/10 = 3/2
2.4 最终答案
3/2
3. 第三题：角的配凑与求值
3.1 题目
已知 sin(π/4- x) = 5/13，且 0 < x < π/4，求 cos2x / cos(π/4 + x) 的值
3.2 解题方法
观察已知角和未知角之间的关系，进行角的配凑
3.3 解答过程
3.3.1 观察角度关系
令 A= π/4 - x，则 x = π/4 - A
那么，π/4+ x = π/4 + (π/4 - A) = π/2 - A
并且 2x= 2(π/4 - A) = π/2 - 2A
3.3.2 改写所求表达式
原式= cos2x / cos(π/4 + x) = cos(π/2 - 2A) / cos(π/2 - A)
3.3.3 利用诱导公式化简
cos(π/2- 2A) = sin2A
cos(π/2- A) = sinA
所以，原式= sin2A / sinA
3.3.4 利用二倍角公式
sin2A/ sinA = (2sinAcosA) / sinA = 2cosA
3.3.5 求 cosA 的值
已知 A= π/4 - x，且 0 < x < π/4，所以 0 < A < π/4，故 cosA > 0
由 sinA= 5/13，得：
cosA= √[1 - sin²A] = √[1 - (5/13)²] = √[1 - 25/169] = √[144/169] = 12/13
3.3.6 代入求值
原式= 2 × 12/13 = 24/13
3.4 最终答案
24/13
4. 第四题：解三角形
4.1 题目
在三角形 ABC 中，角 A,B, C 的对边分别为 a, b, c，且满足 a cosB + b cosA = 2c cosC
(1)求角 C 的大小
(2)若 a + b = 6，且三角形 ABC 的面积为 2√3，求边长 c
4.2 解题方法
综合运用正弦定理和余弦定理
4.3 解答过程
4.3.1 求角 C
1. 由正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R
所以 a = 2R sinA，b = 2R sinB，c = 2R sinC
2. 代入方程 a cosB + b cosA = 2c cosC：
2R sinA cosB + 2R sinB cosA = 2 × (2R sinC) cosC
3. 两边同时除以 2R：
sinA cosB + cosA sinB = 2 sinC cosC
4. 利用两角和的正弦公式和正弦二倍角公式：
sin(A+B) = sin2C
5. 在三角形中，A+B+C = π，所以 A+B = π - C
因此，sin(A+B) = sin(π - C) = sinC
方程变为：sinC = sin2C
6. 所以 sin2C - sinC = 0
即 2cos(3C/2) sin(C/2) = 0
7. 因为 C ∈ (0, π)，所以 C/2 ∈ (0, π/2)，sin(C/2) ≠ 0
因此，cos(3C/2) = 0
所以 3C/2 = π/2，解得 C = π/3
4.3.2 求边长 c
1. 已知面积 S = (1/2)ab sinC = 2√3
代入 C = π/3，sin(π/3) = √3/2：
(1/2)ab × (√3/2) = 2√3
化简得：(√3/4)ab = 2√3，所以 ab = 8
2. 已知 a + b = 6
由余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cosC
我们知道 a² + b² = (a+b)² - 2ab = 6² - 2×8 = 36 - 16 = 20
3. 代入求 c²：
c² = 20 - 2×8×cos(π/3) = 20 - 16×(1/2) = 20 - 8 = 12
所以 c = √12 = 2√3
4.4 最终答案
(1)π/3
(2)2√3
版权声明：本文转载于今日头条，版权归作者所有，如果侵权，请联系本站编辑删除