人工智能之数学基础 微积分----公式关注公众号

第四章 积分应用

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前言

积分是微积分的两大支柱之一，与导数互为逆运算。定积分不仅用于计算面积、体积，更是概率论中累积分布函数（CDF）的核心工具。本文系统讲解不定积分、定积分、微积分基本定理、数值积分方法，并重点展示其在连续型概率分布（如正态分布、指数分布）中的应用，配套完整的 Python（SciPy / NumPy / Matplotlib / SymPy）代码实现与可视化。

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一、积分基础概念

1. 不定积分（Indefinite Integral）

定义：函数 $ f(x) $ 的原函数族（反导数）

$ \int f(x) \, dx = F(x) + C, \quad \text{其中 } F'(x) = f(x) $

例：$ \int 2x \, dx = x^2 + C $

2. 定积分（Definite Integral）

定义（黎曼和）：

$ \inta^b f(x) \, dx = \lim{n \to \infty} \sum{i=1}^n f(xi^*) \Delta x $

几何意义：曲线 $ y = f(x) $ 与 $ x $-轴在 $[a, b]$ 间围成的有向面积

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二、微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）

连接微分与积分的桥梁

若 $ f $ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $ F $ 是 $ f $ 的一个原函数，则：

$ \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a) $

✅ 这使得定积分可通过求原函数计算，无需极限求和。

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三、积分在概率论中的核心作用

对连续型随机变量 \( X \)，其概率由概率密度函数（PDF） \( f_X(x) \) 描述：

概率 = PDF 在区间上的定积分

$ P(a \leq X \leq b) = \inta^b fX(x) \, dx $

累积分布函数（CDF） 定义为：

$ FX(x) = P(X \leq x) = \int{-\infty}^x f_X(t) \, dt $

因此，CDF 就是 PDF 的定积分（从 $-\infty$ 到 $x$）

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四、常见连续分布的积分应用

1. 正态分布（高斯分布）

PDF：$ f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}} $CDF：无初等函数表达式！需用误差函数（erf） 或数值积分

$ F(x) = \frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf}\left( \frac{x - \mu}{\sigma \sqrt{2}} \right) \right] $

2. 指数分布

PDF：$ f(x) = \lambda e^{-\lambda x},\ x \geq 0 $CDF（可解析积分）：

$ F(x) = \int_0^x \lambda e^{-\lambda t} dt = 1 - e^{-\lambda x} $

3. 均匀分布

PDF：$ f(x) = \frac{1}{b - a},\ a \leq x \leq b $CDF：

$ F(x) = \begin{cases} 0 & x < a \\ \frac{x - a}{b - a} & a \leq x \leq b \\ 1 & x > b \end{cases} $

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五、Python 代码实现

1. 导入库

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom scipy import integratefrom scipy.stats import norm, expon, uniformimport sympy as sp# 设置绘图风格plt.rcParams['figure.figsize'] = (10, 5)

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2. 符号积分（SymPy）

x = sp.symbols('x')# 不定积分expr1 = sp.exp(-x)indef_int = sp.integrate(expr1, x)print("∫ e⁻ˣ dx =", indef_int)# 定积分：指数分布 CDFlam = sp.symbols('λ', positive=True)pdf_exp = lam * sp.exp(-lam * x)cdf_exp = sp.integrate(pdf_exp, (x, 0, x)) # 从 0 到 xprint("指数分布 CDF =", cdf_exp)# 正态分布：无法解析积分pdf_norm = (1/sp.sqrt(2*sp.pi)) * sp.exp(-x**2 / 2)try: cdf_norm = sp.integrate(pdf_norm, (x, -sp.oo, x)) print("标准正态 CDF =", cdf_norm)except Exception as e: print("正态分布无初等原函数 → 需数值方法或 erf")

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3. 数值积分：计算概率

场景：计算 $ P(1 \leq X \leq 2) $，其中 $ X \sim \mathcal {N}(0, 1) $

# 方法1：使用 scipy.stats（推荐）prob1 = norm.cdf(2) - norm.cdf(1)print(f"P(1 ≤ X ≤ 2) via CDF: {prob1:.6f}")# 方法2：直接数值积分 PDFresult, error = integrate.quad(norm.pdf, 1, 2)print(f"P(1 ≤ X ≤ 2) via quad(): {result:.6f} ± {error:.2e}")# 方法3：蒙特卡洛模拟（验证）np.random.seed(42)samples = np.random.normal(0, 1, size=1000000)prob_mc = np.mean((samples >= 1) & (samples <= 2))print(f"P(1 ≤ X ≤ 2) via Monte Carlo: {prob_mc:.6f}")

输出：

P(1 ≤ X ≤ 2) via CDF: 0.135905P(1 ≤ X ≤ 2) via quad(): 0.135905 ± 1.51e-15P(1 ≤ X ≤ 2) via Monte Carlo: 0.135872

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4. 可视化：PDF 与 CDF

x_vals = np.linspace(-4, 4, 400)# 正态分布pdf_vals = norm.pdf(x_vals)cdf_vals = norm.cdf(x_vals)plt.figure(figsize=(12, 4))# PDF + 阴影区域plt.subplot(1, 2, 1)plt.plot(x_vals, pdf_vals, 'b-', label='PDF')# 阴影 P(1 ≤ X ≤ 2)x_fill = np.linspace(1, 2, 100)plt.fill_between(x_fill, norm.pdf(x_fill), color='orange', alpha=0.5, label='P(1≤X≤2)')plt.title('概率密度函数（PDF）')plt.xlabel('x'); plt.ylabel('f(x)')plt.legend(); plt.grid(True)# CDFplt.subplot(1, 2, 2)plt.plot(x_vals, cdf_vals, 'r-', label='CDF')plt.axvline(1, color='gray', linestyle='--')plt.axvline(2, color='gray', linestyle='--')plt.scatter([1, 2], [norm.cdf(1), norm.cdf(2)], color='red')plt.title('累积分布函数（CDF）')plt.xlabel('x'); plt.ylabel('F(x)')plt.legend(); plt.grid(True)plt.tight_layout()plt.show()

左图：概率 = 曲线下面积；右图：CDF 差值 = 区间概率。

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5. 自定义分布：数值积分求 CDF

假设 PDF 为 $ f(x) = \frac{3}{4}(1 - x^2),\ -1 \leq x \leq 1 $

def custom_pdf(x): return 0.75 * (1 - x**2) * ((x >= -1) & (x <= 1))# 验证归一化：∫ f(x) dx = 1total_prob, _ = integrate.quad(custom_pdf, -1, 1)print(f"总概率（应为1）: {total_prob:.6f}")# 计算 CDF 函数（数值积分）def custom_cdf(x): if x < -1: return 0.0 elif x > 1: return 1.0 else: result, _ = integrate.quad(custom_pdf, -1, x) return result# 向量化custom_cdf_vec = np.vectorize(custom_cdf)x_plot = np.linspace(-2, 2, 400)pdf_plot = custom_pdf(x_plot)cdf_plot = custom_cdf_vec(x_plot)plt.figure(figsize=(10, 4))plt.subplot(1, 2, 1)plt.plot(x_plot, pdf_plot, 'b-')plt.title('自定义 PDF')plt.grid(True)plt.subplot(1, 2, 2)plt.plot(x_plot, cdf_plot, 'r-')plt.title('自定义 CDF（数值积分）')plt.grid(True)plt.tight_layout()plt.show()

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6. 多重积分：联合概率（二维正态分布）

计算 $ P(X \leq 0, Y \leq 0) $ 对于标准二维正态分布（独立）

from scipy.stats import multivariate_normal# 联合 PDFmean = [0, 0]cov = [[1, 0], [0, 1]] # 独立rv = multivariate_normal(mean, cov)# 方法1：直接使用 CDF（scipy 支持）prob_joint = rv.cdf([0, 0])print(f"P(X≤0, Y≤0) = {prob_joint:.6f} （应为 0.25）")# 方法2：双重数值积分def joint_pdf(y, x): # 注意 integrate.dblquad 顺序 return rv.pdf([x, y])result2d, err2d = integrate.dblquad( joint_pdf, -np.inf, 0, # x 从 -∞ 到 0 lambda x: -np.inf, lambda x: 0 # y 从 -∞ 到 0)print(f"双重积分结果: {result2d:.6f} ± {err2d:.2e}")

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7. 积分技巧：换元法与分部积分（SymPy 示例）

# 换元法：∫ 2x cos(x²) dxexpr_sub = 2*x * sp.cos(x**2)int_sub = sp.integrate(expr_sub, x)print("换元法示例:", int_sub) # sin(x²) + C# 分部积分：∫ x e^x dxexpr_part = x * sp.exp(x)int_part = sp.integrate(expr_part, x)print("分部积分示例:", int_part) # (x - 1)e^x + C

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六、数值积分方法简介

当无法解析积分时，常用数值方法：

方法	原理	Python 函数
梯形法则	用梯形近似曲边梯形	np.trapz
辛普森法则	用抛物线近似	scipy.integrate.simps
自适应高斯-克朗罗德	自动调整精度	scipy.integrate.quad（默认）

# 比较不同数值积分方法x_fine = np.linspace(0, 2, 1000)y_fine = norm.pdf(x_fine)trapz_result = np.trapz(y_fine, x_fine)simps_result = integrate.simps(y_fine, x_fine)quad_result, _ = integrate.quad(norm.pdf, 0, 2)print(f"梯形法则: {trapz_result:.6f}")print(f"辛普森法则: {simps_result:.6f}")print(f"quad()（高精度）: {quad_result:.6f}")

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七、总结：积分在概率中的核心地位

概念	数学表达	Python 实现
概率	$ P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) dx $	integrate.quad(pdf, a, b)
CDF	$ F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt $	dist.cdf(x)
期望	$\mathbb{E}[X] = \int x f(x) dx $	dist.mean() 或 integrate.quad(lambda x: x*pdf(x), ...)
方差	$ \text{Var}(X) = \int (x - \mu)^2 f(x) dx $	dist.var()

关键洞见：

所有连续概率计算本质都是定积分；正态分布等重要分布的 CDF 无初等表达式，依赖特殊函数（erf）或数值积分；SciPy 的 scipy.stats 封装了常见分布的 PDF/CDF/数值积分，优先使用；自定义分布时，可用 integrate.quad 构建 CDF。

掌握积分，从概率密度到实际概率，为统计推断、机器学*（如变分推断）、金融工程等打下坚实基础。

后续

python过渡项目部分代码已经上传至gitee，后续会逐步更新。

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