更新时间：作者：小小条
高考文科数学试题(广东a卷)及答案
一、单项选择题
1. 已知集合\(A = \{x | -2 < x < 3\}\)，\(B = \{x | x^2 - 5x + 6 < 0\}\)，则\(A\cap B =\)（ ）
A. \(\{x | -2 < x < 2\}\)
B. \(\{x | 2 < x < 3\}\)
C. \(\{x | -2 < x < 3\}\)
D. \(\{x | x < 3\}\)
答案：B
2. 函数\(y = \log_2(x - 1)\)的定义域是（ ）
A. \((-\infty, 1)\)
B. \((1, +\infty)\)
C. \((0, 1)\)
D. \((1, 2)\)
答案：B
3. 若向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow{b}=(3,m)\)，且\(\overrightarrow{a}\perp\overrightarrow{b}\)，则\(m =\)（ ）
A. \(-\frac{3}{2}\)
B. \(\frac{3}{2}\)
C. \(-\frac{2}{3}\)
D. \(\frac{2}{3}\)
答案：A
4. 等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_3 + a_7 = 10\)，则\(a_5 =\)（ ）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
答案：A
5. 函数\(y = \sin(2x + \frac{\pi}{3})\)的最小正周期是（ ）
A. \(\frac{\pi}{2}\)
B. \(\pi\)
C. \(2\pi\)
D. \(4\pi\)
答案：B
6. 已知直线\(l_1: 2x + y - 3 = 0\)，\(l_2: x - 2y = 0\)，则\(l_1\)与\(l_2\)的位置关系是（ ）
A. 平行
B. 垂直
C. 相交但不垂直
D. 重合
答案：B
7. 抛物线\(y^2 = 8x\)的焦点坐标是（ ）
A. \((0,2)\)
B. \((0,-2)\)
C. \((2,0)\)
D. \((-2,0)\)
答案：C
8. 函数\(f(x)=x^3 - 3x\)的单调递增区间是（ ）
A. \((-\infty,-1)\)和\((1,+\infty)\)
B. \((-1,1)\)
C. \((-\infty,-1)\)
D. \((1,+\infty)\)
答案：A
9. 已知\(\tan\alpha = 2\)，则\(\frac{\sin\alpha + \cos\alpha}{\sin\alpha - \cos\alpha}=\)（ ）
A. 3
B. \(\frac{1}{3}\)
C. -3
D. \(-\frac{1}{3}\)
答案：A
10. 从\(5\)名男生和\(3\)名女生中选\(3\)人参加数学竞赛，则至少有一名女生的选法有（ ）种。
A. 30
B. 40
C. 50
D. 60
答案：C
二、多项选择题
1. 下列函数中，是偶函数的有（ ）
A. \(y = x^2 + 1\)
B. \(y = x^3\)
C. \(y = \cos x\)
D. \(y = \sin x\)
答案：AC
2. 已知\(a > 0\)，\(b > 0\)，则下列不等式成立的有（ ）
A. \(a + b\geqslant 2\sqrt{ab}\)
B. \(\frac{a + b}{2}\geqslant\sqrt{ab}\)
C. \(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\geqslant 2\)
D. \(a^2 + b^2\geqslant 2ab\)
答案：ABCD
3. 下列说法正确的有（ ）
A. 过两点\((x_1,y_1)\)，\((x_2,y_2)\)（\(x_1\neq x_2\)）的直线方程为\(\frac{y - y_1}{y_2 - y_1}=\frac{x - x_1}{x_2 - x_1}\)
B. 经过点\((1,1)\)且在\(x\)轴和\(y\)轴上截距相等的直线方程为\(x + y - 2 = 0\)
C. 直线\(x - \sqrt{3}y + 2 = 0\)的倾斜角为\(30^{\circ}\)
D. 直线\(Ax + By + C = 0\)（\(A\)，\(B\)不同时为\(0\)）与直线\(aAx + aBy + C = 0\)（\(a\neq0\)）平行
答案：ACD
4. 已知等比数列\(\{a_n\}\)的公比为\(q\)，则下列说法正确的有（ ）
A. 若\(q > 1\)，则\(\{a_n\}\)单调递增
B. 若\(0 < q < 1\)，则\(\{a_n\}\)单调递减
C. 若\(a_1 > 0\)，\(0 < q < 1\)，则\(\{a_n\}\)单调递减
D. 若\(a_1 < 0\)，\(q > 1\)，则\(\{a_n\}\)单调递减
答案：CD
5. 已知函数\(y = f(x)\)是定义在\(R\)上的奇函数，当\(x\geqslant0\)时，\(f(x)=x^2 - 2x\)，则下列说法正确的有（ ）
A. 当\(x < 0\)时，\(f(x)= -x^2 - 2x\)
B. 函数\(f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上单调递增
C. 函数\(f(x)\)的图象与直线\(y = 1\)有\(3\)个交点
D. 函数\(f(x)\)有最小值\(-1\)
答案：ACD
6. 下列关于三角函数的性质说法正确的有（ ）
A. \(y = \sin x\)和\(y = \cos x\)的值域都是\([-1,1]\)
B. \(y = \sin x\)和\(y = \cos x\)的最小正周期都是\(2\pi\)
C. \(y = \tan x\)的定义域是\(\{x|x\neq k\pi+\frac{\pi}{2},k\in Z\}\)
D. \(y = \tan x\)在其定义域内是增函数
答案：ABC
7. 已知圆\(C:(x - 1)^2+(y - 2)^2 = 4\)，则下列点在圆\(C\)内部的有（ ）
A. \((0,0)\)
B. \((1,1)\)
C. \((2,2)\)
D. \((3,3)\)
答案：BC
8. 已知\(A\)，\(B\)，\(C\)是三角形的三个内角，则下列等式成立的有（ ）
A. \(\sin(A + B)=\sin C\)
B. \(\cos(A + B)=-\cos C\)
C. \(\tan(A + B)=-\tan C\)
D. \(\sin\frac{A + B}{2}=\cos\frac{C}{2}\)
答案：ABCD
9. 已知向量\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow{b}\)满足\(|\overrightarrow{a}| = 1\)，\(|\overrightarrow{b}| = 2\)，\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=1\)，则下列说法正确的有（ ）
A. \(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)
B. \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\perp(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})\)
C. \(|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=\sqrt{7}\)
D. \(\overrightarrow{a}\)在\(\overrightarrow{b}\)方向上的投影为\(\frac{1}{2}\)
答案：ACD
10. 已知函数\(y = f(x)\)的图象关于直线\(x = 1\)对称，且当\(x\geqslant1\)时，\(f(x)=x^2 - 4x + 5\)，则下列说法正确的有（ ）
A. 当\(x < 1\)时，\(f(x)=x^2+2\)
B. 函数\(f(x)\)在\((-\infty,1)\)上单调递减
C. 函数\(f(x)\)的最小值为\(1\)
D. 函数\(f(x)\)的图象与直线\(y = 2\)有\(4\)个交点
答案：ABC
三、判断题
1. 空集是任何集合的子集。（ ）
答案：√
2. 函数\(y = \frac{1}{x}\)在定义域内是减函数。（ ）
答案：×
3. 若\(a > b\)，则\(ac^2 > bc^2\)。（ ）
答案：×
4. 若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。（ ）
答案：×
5. 等比数列\(\{a_n\}\)中，\(a_1a_9 = a_5^2\)。（ ）
答案：√
6. 函数\(y = \sin x\)和\(y = \cos x\)的图象有无数个交点。（ ）
答案：√
7. 圆\((x - 2)^2+(y + 3)^2 = 9\)的圆心坐标是\((2,-3)\)，半径是\(3\)。（ ）
答案：√
8. 若向量\(\overrightarrow{a}\)与\(\overrightarrow{b}\)共线，则存在实数\(\lambda\)，使得\(\overrightarrow{a}=\lambda\overrightarrow{b}\)。（ ）
答案：×
9. 函数\(y = \tan x\)的图象关于原点对称。（ ）
答案：√
10. 已知\(f(x)\)是定义在\(R\)上的偶函数，则\(f(x)=f(-x)\)。（ ）
答案：√
四、简答题
1. 求函数\(f(x)=x^2 - 4x + 3\)在区间\([0,3]\)上的最大值和最小值。
答案：首先将函数\(f(x)=x^2 - 4x + 3\)进行配方，可得\(f(x)=(x - 2)^2 - 1\)。函数图象开口向上，对称轴为\(x = 2\)。当\(x = 2\)时，\(f(x)\)取得最小值\(f(2)=(2 - 2)^2 - 1=-1\)；当\(x = 0\)时，\(f(0)=0^2 - 4\times0 + 3 = 3\)；当\(x = 3\)时，\(f(3)=3^2 - 4\times3 + 3 = 0\)，比较\(3\)和\(0\)大小，可得最大值为\(3\)。
2. 已知等差数列\(\{a_n\}\)中，\(a_2 = 5\)，\(a_5 = 14\)，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式。
答案：设等差数列\(\{a_n\}\)的公差为\(d\)，首项为\(a_1\)。则\(a_n=a_1+(n - 1)d\)。由\(a_2 = 5\)可得\(a_1 + d = 5\)；由\(a_5 = 14\)可得\(a_1 + 4d = 14\)。用\(a_1 + 4d = 14\)减去\(a_1 + d = 5\)，得\(3d = 9\)，解得\(d = 3\)。把\(d = 3\)代入\(a_1 + d = 5\)，得\(a_1 = 2\)。所以\(a_n=2+(n - 1)\times3 = 3n - 1\)。
3. 求过点\((2,-3)\)且与直线\(2x - y + 1 = 0\)平行的直线方程。
答案：已知所求直线与直线\(2x - y + 1 = 0\)平行，则它们斜率相等。直线\(2x - y + 1 = 0\)可化为\(y = 2x + 1\)，其斜率为\(2\)。设所求直线方程为\(y = 2x + b\)，因为直线过点\((2,-3)\)，把\((2,-3)\)代入\(y = 2x + b\)，可得\(-3 = 2\times2 + b\)，解得\(b = -7\)。所以所求直线方程为\(y = 2x - 7\)，即\(2x - y - 7 = 0\)。
4. 已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，求\(\cos\alpha\)和\(\tan\alpha\)的值。
答案：因为\(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1\)，已知\(\sin\alpha=\frac{3}{5}\)，则\(\cos^2\alpha = 1-\sin^2\alpha = 1 - (\frac{3}{5})^2=\frac{16}{25}\)。又因为\(\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)\)，在这个区间内\(\cos\alpha<0\)，所以\(\cos\alpha=-\frac{4}{5}\)。而\(\tan\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=\frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}}=-\frac{3}{4}\)。
五、讨论题
1. 讨论函数\(f(x)=x^3 - 3x^2 + 2\)的单调性。
答案：对函数\(f(x)=x^3 - 3x^2 + 2\)求导，可得\(f^\prime(x)=3x^2 - 6x = 3x(x - 2)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，则\(3x(x - 2)=0\)，解得\(x = 0\)或\(x = 2\)。当\(x < 0\)时，\(f^\prime(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增；当\(0 < x < 2\)时，\(f^\prime(x)<0\)，函数\(f(x)\)单调递减；当\(x > 2\)时，\(f^\prime(x)>0\)，函数\(f(x)\)单调递增。所以函数\(f(x)\)在\((-\infty,0)\)和\((2,+\infty)\)上单调递增，在\((0,2)\)上单调递减。
2. 讨论直线\(y = kx + 1\)与圆\(x^2 + y^2 = 4\)的位置关系。
答案：圆\(x^2 + y^2 = 4\)的圆心坐标为\((0,0)\)，半径\(r = 2\)。根据点到直线距离公式，圆心\((0,0)\)到直线\(y = kx + 1\)即\(kx - y + 1 = 0\)的距离\(d=\frac{|0 - 0 + 1|}{\sqrt{k^2 + 1}}=\frac{1}{\sqrt{k^2 + 1}}\)。当\(d>r\)，即\(\frac{1}{\sqrt{k^2 + 1}}>2\)，此不等式无解，所以不存在这种情况；当\(d = r\)，即\
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