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我不知道您是否看过带有三角形车轮的自行车。是的，骑行非常顺利，不会撞到。

工程师Sergii Gordieiev发明的三角形车轮|资料来源：YouTuber Q

将一个圆在两个平行线之间放置，以使其与这两个平行线保持相切。然后，无论我们如何转动这个圆，这两个平行线之间的距离保持不变。我们称此属性固定宽度。

但是，圆不是平面上唯一的固定宽度曲线。如果将常规三角形的三个顶点用作中心，并且侧面的长度用作半径，则被常规三角形的三个弧包围的图是一个非圆形固定宽度曲线。实际上，除了一个圆圈外，它是最简单，最著名的固定宽度曲线：Reuleaux Triangle。

由于其宽度是恒定的，因此Reuleaux三角形是对“除了圆圈之外还可以制成什么形状形状”的问题。有兴趣的朋友可以尝试验证其固定宽度属性。

上面动画中自行车的形状是Reuleaux三角形。自行车的宽度可以顺利进行，但是由于工程和机械实际原因，Reuleaux三角轮胎目前不实用。但是，这并不意味着Reuleaux Triangle只能用作简短视频中的头。 ——。在下面的文章中，我们将介绍其在行业中的各种应用。 ——。它也是数学中的重要研究对象。

但是，最尴尬的点是，对历史上的Reuleaux三角形和其他固定宽度曲线的研究越彻底，我们对三维和高维欧洲空间中的固定差几何形状的了解越多。

耶路撒冷希伯来大学数学名誉教授吉尔·卡莱（Gil Kalai）是当代组合科学领域的领导者之一。他在十多年前对数学社区Mathoverflow发表了评论：“恒定宽度（球除外）的集合不够幸运，无法被选为Banach Space的规范，并且无法吸引Banach Space理论中的强大专家来研究其渐近性特性。”因此，数学界已将高维空间中固定宽度几何形状的研究引入了冷宫。但是他随后转过头：“但是他们（高维，固定范围的几何形状）非常令人兴奋，这似乎是一个非常基本的问题。”

这里的“非常基本的问题”是指1988年在普林斯顿大学的博士学位上，ODED Schramm（前任Kalai教授的前学生）提出的看似简单的问题：我们可以在比球小的任何维度建造一个固定宽度的几何形状？

这个非常基本的问题使数学社区困惑了30多年。直到今年5月，五名研究人员报告答案是肯定的。

他们不仅在高维几何形状中解决了一个困难的问题，而且还允许数学社区首次看到这些神秘的高维几何对象的外观。尽管这些形状易于定义，但它们令人惊讶地神秘。现在，研究人员最终可以进入几何宇宙的角落，而几何宇宙曾经完全无法访问。

从2D到3D

和更高的维度

在三维空间（以下称为固定宽度主体）中定义固定宽度几何对象的方法类似于定义固定宽度曲线的方式。但是将曲线夹在两个平行线之间，而三维对象必须夹在两个平行平面之间。如果三维对象无论其移动如何移动都不会改变平行平面的距离，那么我们将其称为三维固定宽度主体。

同样，可以定义一般N维空间中的固定宽度体。只是需要用N-1维超平面代替飞机。

最容易想到的是三维空间中的球体和N维单元的半径为1（表示为bn）的球体。但是唯一的固定宽度主体类型是吗？

历史上的数学家也想弄清楚这个问题。他们建立了在三维空间中构建Reuleaux三角形的方式。这个想法是构建四个球形壳，其正规四面体的顶点为中心和侧面长度为半径。球形包裹的空间除以四个球形壳，是Reuleaux四面体。

首先，据推测，鲁毛四面体是三维空间中的非球面固定机构。但不幸的是，事实并非如此。您可以尝试计算并验证此问题。

Reuleaux四面体|资料来源：Reuleaux四面体-Wikipedia

好消息是，它可以通过当地的“手术”转变为固定范围的身体！因此，现在我们拥有了第一个非球形三维固定范围的身体——Meissner主体。

我相信读者还注意到，在三维空间中构建固定的宽体已经很难，并且将其置于比想象的更高的维空间更加困难。更重要的是，为了回答施拉姆（Schramm）提出的困难问题，有必要确保这一点：

对于正数q小于1的正数，当n足够大时，总是有一个n维宽kN，宽度为2，其体积V（kN）为

虽然Arman等人的工作。揭示了固定宽体在一般N维空间中的逐渐特性，它基本上仍处于“毛皮”阶段。与二维固定宽度曲线相比，我们对高维固定宽度主体的各种细节知之甚少。

除了之前引入的Reuleaux三角形外，还有大量固定宽度曲线。实际上，我们可以在数学上证明每个具有奇数边缘的常规多边形可以通过绘制弧线来生成固定宽度曲线。这种类型的固定宽度曲线称为Reuleaux多边形。 Reuleaux三角形是最简单的Reuleaux多边形。

但是，Reuleaux多边形的边缘都是弧。那么是否存在边缘而不是弧形的固定宽度曲线？

答案是肯定的。

我们有非ARC剪接，更光滑的代数固定宽度曲线。例如，以下多项式的零点形成具有恒定宽度的非圆形平滑代数曲线：

曲线的次数为8，这是定义固定宽度非圆曲线的多项式的最小次数。

对于所有固定宽度曲线，都有Barbier定理：固定宽度曲线的周长为W（W是恒定宽度），无论其形状如何。

此外，非常重要的Blaschke-Lebesgue定理指出，Reuleaux三角形具有相同宽度的所有固定宽度曲线中最小的区域。许多数学家希望在三个维度上找到最小的固定宽度主体，但这是徒劳的。

在回答Schramm的问题后，近几个月来，Arman的5人团队一直在研究上述问题。但是由于后果，他不久前宣布他将放弃追求并重返他们的早期研究工作。

Reuleaux三角

历史和应用

毕竟，我们生活在一个三维世界中，高维几何形状的尖端研究通常对现实生活的影响有限。根据Arman的说法，在较高的维度下，他们发现的固定宽度机构可能有助于开发用于分析高维数据集的机器学*方法。

但是，Reuleaux三角无疑已在各种生活和工业场景中使用。 19世纪的德国工程师Franz Reuleaux是研究机械研究的先驱，将一种运动转变为另一种运动。他在设计中使用了Reuleaux三角形。这就是其名称的来源。但是它的历史可以追溯到更长的时间。

Reuleaux三角的早期应用来自莱昂纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）在1514年左右绘制的世界地图，其中地球的球体被分为八个，每个片都被压成一个Reuleaux三角形的形状。

1514年左右，莱昂纳多·达·芬奇（Leonardo da Vinci）绘制的世界地图|资料来源：Reuleaux Triangle - Wikipedia

但是，第一个实现固定宽度曲线并观察到Reuleaux三角形具有固定宽度特性的人可能是Leonhard Euler。 Euler在1771年发表并于1781年发表的论文中研究了曲线三角形以及他称之为圆圈的固定宽度曲线。

Reuleaux三角形和其他固定宽度曲线的存在表明，单独的直径测量无法验证对象是否具有圆形横截面。

1986年，航天飞机挑战者在发射后73秒爆炸，著名的物理学家理查德·费曼（Richard Feynman）受邀调查事故的原因。后来，他证明了最初用于连接航天飞机的固体火箭助力区的“ O形圈”密封由于温度低而导致灾难性后果。但是他还发现了许多其他问题。这包括NASA测量O形圈形状的方式。在飞行前测试中，工程师反复测量了密封的宽度，以验证其未变形。

Feynman后来写道，由于存在固定宽度曲线，这些测量值是无用的。

尽管它们对圆形横截面测量构成了隐藏的危险，但固定宽度曲线的形状也带来了非常有用的特性。目前有几种类型的机械根据Reuleaux三角形的形状，它根据其在正方形内旋转的能力。

Reuleaux Triangles在正方形内滚动，同时总是触摸所有四个侧面。

Watts Brothers工具工程的方钻头具有一个Reuleaux Triangle的形状，该形状被修饰，凹面表面形成切割表面。当安装在允许钻头没有固定旋转中心的特殊Chuck中时，它可以钻一个几乎方形的孔。

德国工程师Felix Wankel设计了一种内燃机，该发动机使用偏心旋转在Reuleaux Triangle的帮助下将压力转化为旋转运动。

Wankel KKM发动机中风周期|资料来源：Wankel引擎-Wikipedia

大约50年前，马自达工程师成功地将Wankel的转子发动机商业化。转子发动机以其较小，比传统活塞发动机及其出色的功率重量比而闻名。与传统发动机不同，转子发动机没有往复式零件。它使用三角形转子，该转子在外壳内旋转，使其更安静，更光滑。该设计还允许在给定的位移下表现出色。

尽管最后一个使用13B转子发动机的RX-8在2012年停产，但马自达继续生产转子发动机及其组件，以保持转子发动机的传统。

苏联Luch -2胶片喂养机制在基于Reuleaux三角的8mm胶卷投影仪中

Reuleaux三角形的其他应用包括吉他桨，防火剂防篡改坚果，铅笔形设计等等。

开始的结束

如前所述，在解决了Schramm问题之后，5人团队转向了其他离散几何领域，但他们留下了一个新的高维几何形状世界，以供其他人探索。

2008年，施拉姆（Schramm）在许多不同的数学领域取得了重大进展后，在一次远足事故中死亡。作为他的前任老师，卡莱教授很高兴看到当今的研究人员继承并继续施拉姆的学术遗产，并取得了成果。

他说，在较高的维度上，人们认为固定范围的物体至少在体积特性方面应该像球一样行为，但“事实并非如此，因此这意味着高维几何学理论非常丰富。”

2010年，吉尔·卡莱（Gil Kalai）发布在Mathoverflow上，希望能吸引更多的数学家专注于“非常基本的问题” —— -Schramm问题。

在今年5月的最后一天，卡莱（Kalai）在这个长期以来的帖子中回答了自己：“问题已经解决。”

参考

[1]恒定宽度的曲线- 维基百科

[2] Reuleaux Triangle -Wikipedia

[3] mg。米特几何- 高尺寸的恒定宽度集- Mathoverflow

[4]数学家发现了解决数十年几何问题的新形状| Quanta杂志

[5] Andrii Arman，Andriy Bondarenko，Fedor Nazarov，Andriy Prymak和Danylo Radchenko建造了恒定宽度的小体积|组合和更多（WordPress.com）

[6] [2405.18501]恒定宽度的小体积体（arxiv.org）

[7] Wankel引擎-Wikipedia

计划和生产

原始标题：《像球但又不是球？困扰数学界 30 年的“非常基本的问题”终破解》

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资料来源：流行科学中国

（本文来自Pengpai News。有关更多原始信息，请下载“ Pengpai News”应用程序）