更新时间：作者：小小条
我们知道，已知两个力，可以求出它们的合力；反过来，一个力可以分解为两个力.我们可以根据解决实际问题的需要，通过作平行四边形，将力F分解为多组大小、方向不同的分力.
由力的分解得到启发，我们能否通过作平行四边形，将向量a分解为两个向量，使向量a是这两个向量的和呢?
选一个定点，那么,任何一个点都可以用一个向量来表示.对于一条直线l,如果我们的兴趣只在于它的方向，那么用一个与l平行的非零向量a就行了；如果想确定这条直线的位置，则还要在l上任选一点.这样，一个点A,一个向量a就在原则上确定了直线l,这是对直线的一种定性刻画.
如果想具体地表示l上的每一个点，我们需要实数k和向量a的乘法ka.这时，l上的任意一点X都可以通过点A和某个ka来表示.希望在“实际”上控制直线l,可以看作是引入ka的一个原因.
再来看平面.两条相交直线确定一个平面
.一个定点，两个不共线的向量a,b便“原则”上确定了平面α,这是对平面的一种定性刻画.但在讨论几何问题时，常常涉及平面α上的某一点X,为了具体地表示它，我们需要引进向量的加法a+b.这时，平面α上的点X就可以表示为k₁a+k₂b(相对于定点A),这样点X就成为可操作的对象了.
(1)存在性：设e₁,e2是同一平面内两个不共线的向量，a是这一平面内任一向量，教科书分三种情况讨论a是否可以由e₁,e2表示：a是与e₁,e2都不共线的向量；a是与e₁或e2共线的非零向量；a是零向量.
课本第25页的探究栏目讨论了a是与e₁,e2都不共线的向量的情况.
首先，作OA=e₁,OB=e2,OC=a(课本图6.3-2),然后让学生将a按e₁,e2的方向分解，发现a与e₁,e2的关系.可以发现，四边形OMCN是平行四边形(教科书图6.3-3),因而a按e₁,e2的方向分解为OM,ON,所以OC=OM+ON.由于OM与e₁共线，ON与e2共线，因而存在实数λ₁,λ2,使得OM=λ₁e₁,ON=λ₂e₂,所以a=λ1e₁+λ2e₂.从而得出与e₁,e2都不共线的向量a都可以表示成λ1e₁+λ2e₂的形式.
对于a是与e₁或e2共线的非零向量情况，如果a是与e₁共线的非零向量，那么a=λ₁e,
a可以写成λ₁e₁+0e₂,所以a也可以表示成λ₁e₁+λ₂e2的形式；类似地，如果a是与e2共线的非零向量，a也可以表示成λ1e₁+λ2e₂的形式.当a是零向量时，把a写成0e₁+0e₂,所以a同样可以表示成λ₁e₁+λ₂e2的形式.
综上可得，设e₁,e2是同一平面内两个不共线的向量，这一平面内任一向量a都可以表示成λ₁e₁+λ₂e2的形式.
(2)唯一性：课本进一步证明上段提到的表示形式是唯一的，其基本思路是：如果a还可以表示成μ1e₁+μ2e₂的形式，那么可推出λ₁=μ1,λ₂=μ2.
其中的关键是由(λ₁—μ1)e₁+(λ₂—μ2)e₂=0推出λ₁—μ1,λ₂—μ2全为0,这个结论在课本中是用反证法来证明的.即假设λ₁—μ1,λ2—μ2不全为0,则可推出e₁,e2共线，这与已知e₁,e2不共线矛盾.从而假设λ₁—μ1,λ2—μ2不全为0不成立，所以λ₁—μ1,λ2—μ2全为0.
(3)平面向量基本定理及基底的概念
在(1)(2)之后就可以说，有且只有一对实数λ₁,λ2,使a=λ1e₁+λ2e₂.,这就得到平面向量基本定理.然后，给出基底的概念，任意两个不共线的向量作为一个整体都可以构成一个基底.
在平面内选定一个基底后，这个平面内的任意向量都可以用这个基底中的两个向量表示，因而这个平面内的向量的运算可以归结为这个基底中的两个向量的运算.教学中可以通过后续有关例题、*题让学生体会基底的作用.
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